逻辑学笔记 | 天涯路远

看书看到涉及逻辑学的，略微整理回顾下相关公式

命题联结词

否定词 $\neg$

否定词（negative）作用于1个命题，类似于生活中的“非”。

读法： $\neg P$ 读作“ $非P$ ”。

定义： $\neg P$ 为真，当且仅当 $P$ 为假。真值表：

P	$\neg$ P
1	0
0	1

合取词 $\wedge$

合取词（conjunction）作用于2个命题，类似于生活中的“且”。

读法： $P\wedge Q$ 读作“ $P且Q$ ”或“ $P合取Q$ ”。

定义： $P\wedge Q$ 为真，当且仅当 $P$ 和 $Q$ 都为真。真值表：

P	Q	P $\wedge$ Q
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

析取词 $\vee$

析取词（disjunction）作用于2个命题，类似于生活中的“或”。【析：分析，分开。析取：即分开取。】

读法： $P\vee Q$ 读作“ $P或Q$ ”或“ $P析取Q$ ”。

定义： $P\vee Q$ 为假，当且仅当 $P$ 和 $Q$ 都为假。真值表：

P	Q	P $\vee$ Q
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

蕴含词 $\rightarrow$

蕴含词（implication）作用于2个命题，类似于生活中的“推出；如果…，那么…”。

读法： $P\to Q$ 读作“ $P推Q$ ”或者“ $P蕴含Q$ ”。

定义：蕴含词有多种定义方式，我们这里介绍最常见的一种定义， $P\to Q$ 为假，当且仅当 $P$ 真而 $Q$ 假。真值表：

P	Q	P $\rightarrow$ Q
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

双条件词/等价词 $\leftrightarrow$

等价词（equivalence）作用于2个命题，类似于生活中的“当且仅当”。

读法： $P\leftrightarrow Q$ 读作“ $P等价Q$ ”或者“ $P当且仅当Q$ ”。

定义： $P\leftrightarrow Q$ 为真，当且仅当 $P$ 与 $Q$ 真值相同。真值表：

P	Q	P $\leftrightarrow$ Q
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

基本的等值公式

双重否定律

$\neg \neg P = P$

结合律

$(P \vee Q) \vee R = P \vee (Q \vee R) \\ (P \wedge Q) \wedge R = P \wedge (Q \wedge R) \\ (P \leftrightarrow Q) \leftrightarrow R = P \leftrightarrow (Q \leftrightarrow R) \\$

交换律

$P \vee Q = Q \vee P \\ P \wedge Q = Q \wedge P \\ P \leftrightarrow Q = Q \leftrightarrow P \\$

分配律

$P \vee (Q \wedge R) = (P \vee Q) \wedge (P \vee R) \\ P \wedge (Q \vee R) = (P \wedge Q) \vee (P \wedge R) \\ P \rightarrow (Q \rightarrow R) = (P \rightarrow Q) \rightarrow (P \rightarrow R) \\$

等幂律/恒等律

$P \vee P = P \\ P \wedge P = P \\ P \rightarrow P = T \\ P \leftrightarrow P = T \\$

吸收率

$P \vee (P \wedge Q) = P \\ P \wedge (P \vee Q) = P \\$

摩根率

$\neg (P \vee Q) = \neg P \wedge \neg Q \\ \neg (P \wedge Q) = \neg P \vee \neg Q \\ 对蕴涵词、双条件词作否定有:\\ \neg (P \rightarrow Q) = P \wedge \neg Q \\ \neg (P \leftrightarrow Q) = \neg P \leftrightarrow Q = P \leftrightarrow \neg Q = (\neg P \wedge Q) \vee (P \wedge \neg Q)$

同一律

$P \vee F = P \\ P \wedge T = P \\ T \rightarrow P = P \\ T \leftrightarrow P = P \\ \& \\ P \rightarrow F = \neg P \\ F \leftrightarrow P = \neg P \\$

零律

$P \vee T = T \\ P \wedge F = F \\ \& \\ P \rightarrow T = T \\ F \rightarrow P = T \\$

补余律

$P \vee \neg P = T \\ P \wedge \neg P = F \\ \& \\ P \rightarrow \neg P = \neg P \\ \neg P \rightarrow P = P \\ P \leftrightarrow \neg P = F \\$

等价否定等值式

$P \leftrightarrow Q = \neg P \leftrightarrow \neg Q$

归谬论

$(P \rightarrow Q) \wedge (P \rightarrow \neg Q) = \neg P$

其他常用等值公式

$P \rightarrow Q = \neg P \vee Q \\$

$P \rightarrow Q = \neg Q \rightarrow \neg P \\$

$P \rightarrow (Q \rightarrow R) = (P \wedge Q) \rightarrow R \\$

$P \leftrightarrow Q = (P \wedge Q) \vee (\neg P \wedge \neg Q)$

$P \leftrightarrow Q = (P \vee \neg Q) \wedge (\neg P \vee Q)$

$P \leftrightarrow Q = (P \rightarrow Q) \wedge (Q \rightarrow P)$

$P \rightarrow (Q \rightarrow R) = Q \rightarrow (P \rightarrow R)$

$(P \rightarrow R) \wedge (Q \rightarrow R) = (P \vee Q) \rightarrow R$

推理规则

肯定前件式

$\begin{align} & P \rightarrow Q \\ & P \\ & \therefore Q \end{align}$

否定后件式

$\begin{align} & P \rightarrow Q \\ & \neg Q \\ & \therefore \neg P \end{align}$

假言三段论

$\begin{align} & P \rightarrow Q \\ & Q \rightarrow R \\ & \therefore P \rightarrow R \end{align}$

析取三段论

$\begin{align} & P \vee Q \\ & \neg P \\ & \therefore Q \end{align}$

构造式二难

$\begin{align} & (P \rightarrow Q) \wedge (R \rightarrow S) \\ & P \vee R \\ & \therefore Q \vee S \end{align}$

吸收率

$\begin{align} & P \rightarrow Q \\ & \therefore P\rightarrow (P \wedge Q) \end{align}$

简化率

$\begin{align} & P \wedge Q \\ & \therefore P \end{align}$

合取律

$\begin{align} & P\\ & Q \\ & \therefore P \wedge Q \end{align}$

附加率

$\begin{align} & P \\ & \therefore P \vee Q \end{align}$

参考资料

大佬的数理逻辑整理

wiki

逻辑学书籍